不確定事件導致了風險,對不確定事件的選擇可以建立一個從事件集D映射到實數的基數效用函數u,接下來我們分析如何用基數效用函數構造一個風險態度劃分的理論體系.

 

   由前面的分析,D中的元素除了包括確定事件x, y以外,還包括不確定事件pr&(1- p)y,這類事件我們稱為不定事件,記為G(x, y:p),于是序保持公理可寫成:任意x,y∈D,x>y,a,β∈[0, 1],記不定事件G =G(x, y:a), G2 = G(x, y:β),則G> Gr的充要條件是a>β.中值公理可以寫成:任意r, y, z∈D,若x>y>z,則存在唯一p∈(0, 1),構成不定事件G(x, z:p),滿足G(x, z:p)~y.強獨立性公理可寫成:若x, y∈D, x> y,對任意p∈(0, 1)和任意z∈D構成的不確定事件G =G(x,z:p)和G2=G(y, z:p)有G> G.中值公理表示一個不定事件G在給定工x, y∈D且x>G> y的條件下唯一對應(0, 1)上的一個實數,一個不定事件優于另外一個不定事件的充要條件是它們對應的實數有這種關系.強獨立性公理表示加入第三個不定事件不改變原先兩個不定事件的優劣關系.基數效用函數進一步給出了不確定事件中G(x, y:p)的效用可以寫成u(G) = pu(.x) +(1- p)u(y),即若z~G[x, y:p(z)],則z的效用函數定義為期望效用u(z) = p(z)u(x)+(1一p(z))u(y).

 

   下面兩個假設對于理性投資者來說也是始終成立的.其一,投資者總是喜歡更多的商品或財富,其二,投資者在進行選擇時總是追求期望效用最大化.

 

   任意假設投資失去1000元的效用為-10,沒有損益時的效用為0.我們設計如下問題:不定事件為以概率a贏取1000元和概率1-a輸掉1000元,問a取多少時不定事件與不輸不贏相當?即0~ G(1000, - 1000, a),或者u(0) = au(1000) +(1 - a)u(- 1000).

 

   在基數效用函數的體系下,這樣的a是唯-的.假若某投資者認為a=0.6,則解方程可得u(000)=6.7.重復以上過程,我們就可以構造出投資者的效用函數.